<div class="exemple">  Prenons maintenant
une surface plane donne de manire plus complique :
<p align="center">\( (u,v) \in D \mapsto
(f_1(u,v),f_2(u,v),1) ).</p>
Les quations sont donc  \( x = f_1(u , v), y = f_2(u , v), z = 1
).
Le vecteur normal \( \vec{N} ) est donn par 
<p> <center>\( \vec{N} =(D_1(f_1)(u,v)e_1+D_1(f_2)(u,v)e_2)\wedge
(D_2(f_1)(u,v)e_1+D_2(f_2)(u,v)e_2) )</center></p>
<p> <center>\( =(D_1(f_1)(u,v)D_2(f_2)(u,v)-D_1(f_2)(u,v)D_2(f_1)(u,v) e_3=
Jac_{u,v}(f_1,f_2)) e_3
 )</center></p>
avec 
<p> <center>\( Jac_{u,v}(f_1,f_2)=\det \left |\begin{pmatrix} D_1(f_1)&D_2(f_1)\\
D_1(f_2)&D_2(f_2)\end{pmatrix}\right |  )</center></p> 
Donc 
l'aire de la surface  plane  \(S = f(D)\)  est gale  
<p> <center>\( \int\!\!\int_S dx dy= \int\!\!\int_D |Jac_{u,v}(f_1,f_2))| du dv
)</center></p>

On retrouve la formule de changements de variables dans le cas des intgrales
doubles. 
</div>