<div class="thm"><span class="thm"> Thorme : </span> Soit \(V) un volume simple dans \(\RR^3) dont le bord  est une surface simple dans \(\RR^3) et \(F) un champ de vecteurs dfini sur un ouvert contenant \(V). Alors, si la <font color="red"><b>divergence de \(F) est nulle</b></font>, le flux de \(F)  travers \(S) est nulle.
</div>


On peut appliquer ce thorme  des volumes dont le bord est "en deux morceaux" : par exemple, le volume compris entre une sphre de rayon \(r) et une sphre de rayon \(R) de mme centre \(O) avec \(r < R)  condition 
de bien orienter la surface (mme question qu'en \exercise{cmd=new&module=U2/analysis/oefgreen.fr&exo=courbegreen}{dimension 2} o cela est plus facile  reprsenter). Dans le cas prcdent, la normale est 
<ul><li>dans la direction de \(\vec{OM}) sur la sphre de rayon \(R) </li><li> dans la direction de \(-\vec{OM}) sur la sphre de rayon \(r). 
</li></ul>


<div class="thm"><span class="thm"> Thorme : </span> Soit \(V_1)et \(V_2)  deux volumes simples dans \(\RR^3) de bords orients \(S_1) et \(S_2) "emboits" c'est--dire tels que \(V_1\subset V_2). 
 et \(F) un champ de vecteurs dfini sur un ouvert contenant \(V_2). Alors, si la <font color="red"><b>divergence de \(F) est nulle</b></font>, les flux de \(F)  travers \(S_1) et  travers \(S_2) sont gaux.
</div>



On en dduit le thorme de Gauss : 
<div class="thm"><span class="thm"> Thorme : </span> 
Si \(F(M)=\frac{ \vec{OM}}{||OM||^3}\)
et si \(V_1)et \(V_2) sont  deux volumes simples dans \(\RR^3) de bords orients \(S_1) et \(S_2) "emboits" c'est--dire tels que \(V_1\subset  V_2). 
les flux de \(F)  travers \(S_1) et  travers \(S_2) sont gaux.
</div>